Study For Future: February 2011

Hubungan Psikologi dengan Ilmu Matematika

Sebelumnya, saya sendiri bingung ingin membuat tulisan mengenai Hubungan Psikologi dengan Ilmu matematika ini. Tapi, berhubungan ini tugas dan saya wajib untuk mengerjakannya, saya akan berusaha semampu saya untuk membuat tulisan ini. Dan jika ada kesalahan – kesalahan didalam tulisan ini, saya mohon maaf karena saya dalam proses belajar dan saya pastikan saya sangat senang jika ada yang ingin memberikan masukan – masukan kepada saya yang sifatnya membangun untuk menjadi yang lebih baik lagi.

Baik…

Untuk hubungan psikologi dengan ilmu matematika, saya tidak memusatkan kepada satu kejadian yang terjadi dikehidupan sehari – hari dan satu teori dari ilmu matematika saja. Saya akan berusaha saling mengaitkan satu hal dengan hal yang lainnya.

Psikologi itu adalah ilmu yang mempelajari tentang perilaku manusia dan binatang, serta penerapannya pada permasalahan manusia (Morgan, 1987). Didalam kehidupan kita sehari – hari, sangat banyak terdapat peristiwa – peristiwa yang menyangkut kepada manusia maupun makhluk hidup yang lainnya. Salah satu contohnya yaitu hubungan antara dua saudara yang tidak mempunyai keakuran dan kekompakan didalam mengerjakan tugas rumah yang diberikan oleh ibunya. Si A suka mengatur si B yang dianggapnya tidak benar dalam mengerjakan suatu hal. Sebenarnya itu bagus karena mengingatkan agar si B lebih berhati – hati dalam mengerjakan sesuatu. Mungkin caranya si A saja yang terlalu berlebihan dan tidak tepat merealisasikan tindakannya dengan benar sehingga si B mengambil kesimpulan bahwa si A suka mengaturnya. Hal ini sangat dibenarkan oleh teori himpunannya matematika yang menyimpulkan bahwa kedua saudara ini saling bertentangan dan berselisihan yang mempunyai notasi : A – B = { x | x Î A dan x Ï B } = A Ç

Didalam psikologi, peristiwa itu dapat disikapi dengan tindakan yang saling memberikan pengertian satu sama lain. Dan yang lebih penting orangtua lah yang mempunyai peranan yang besar terhadap kedua anaknya. Memberikan masukan – masukan bahwa kerjasama itu penting didalam melakukan suatu hal. Jika salah seorang dari anggota yang sedang melakukan kerjasama itu melakukan suatu tindakan yang kurang ataupun salah, sebaiknya bukan dimarahi ataupun disikapi dengan tindakan negative yang lainnya. Sebaiknya ditegur dengan halus dan lembut dan katakan bahwa ”kamu tidak benar melakukannya. Sebaiknya dilakukan dengan hal yang seperti ini yang lebih baik supaya kamu tidak susah payah dalam mengerjakannya.” Dan ucapkan kata – kata itu dengan baik agar tidak terlihat

mengatur ataupun merasa yang paling benar. Karena tujuan untuk melakukan hal tersebut hanyalah memberikan masukan.

Sama halnya dengan mengajarkan anak kecil di masa kanak – kanak awal(early childhood), kanak – kanak akhir dan masa pubertas yang belum sempurna dalam melakukan sesuatu. Maksud sempurna disini yaitu bukan sempurna sampai tidak ada kesalahan karena orang – orang yang sudah dewasa pun masih akan bisa melakukan suatu kesalahan. Jadi maksud sempurna disini yaitu dapat melakukan sesuatu sesuai dengan tahap perkembangannya. Tetapi ini berbeda lagi, karena tujuannya bukan hanya memberikan masukan melainkan mengajarkan yang benar kepadanya agar dia dapat melakukan sesuatu dengan benar dan dapat diulanginya lagi dengan benar. Seperti Teori koherensi menyatakan bahwa kebenaran harus konsisten dengan kebenaran sebelumnya yang dianggap benar. Namun jika dikaji lebih dalam lagi dengan objeknya anak kecil di masa kanak – kanak awal dan kanak – kanak akhir didalam permasalahan ini, maka teori ini tidak akan seluruhnya dapat digunakan. Karena anak kecil mempunyai sifat yang masih berubah – ubah sesuai dengan apa yang diajarkan kepadanya, apa yang dilihatnya dan apa yang terjadi dilingkungannya yang dia resapi menjadi suatu ajaran baginya. Untuk itu, anak kecil masih sangat rentan. Begitu juga dengan anak – anak yang berada didalam masa pubertas. Suasana hati mereka masih berubah – ubah dan mereka mengalami krisis percaya diri. Dan tindakan merekapun terkadang masih seperti anak kecil. Karena masih butuh penyesuaian terhadap masa perkembangan mereka yang baru yaitu masa pubertas. Hal ini juga berkaitan dengan teori Himpunan Bagian (Subset) yaitu Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dengan Notasi: A Í B.

Karena tanpa masa kanak – kanak awal dan kanak – kanak akhir, masa pubertas tidak dapat berkembang dengan baik. Dan dimasa – masa yang seperti inilah pembelajaran terhadap anak itu yang sangat penting agar kepribadian mereka muncul dan dimasa remaja lah pencarian dan pemantapan kepribadian dan identitas diri mereka dapat mereka raih.

Manusia mempunyai tujuan masing – masing atas apa yang mereka lakukan untuk lingkungan mereka. Apakah asimilasi ataukah akomodasi tidak seorangpun yang tau terkecuali mereka memberitahukannya kepada orang lain. Persamaan antara asimilasi dan akomodasi yaitu sama – sama menyesuaikan diri dengan lingkungan. Sedangkan perbedaannya yaitu asimilasi mempunyai tujuan untuk menyesuaikan diri dengan merubah lingkungan dan akomodasi mempunyai tujuan yang sederhana yaitu menyesuaikan diri agar sesuai dengan lingkungan. Satu sama lain antara asimilasi dan akomodasi sangat berkaitan seperti Teori Himpunan yang Ekivalen yaitu Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama dengan Notasi : A ~ B « ½A½ = ½B½. Maksudnya kardinal dari kedua himpunan tersebut sama antara asimilasi dan akomodasi yaitu sama – sama ingin menyesuaikan diri dengan lingkungan. Dan dengan tujuan antara asimilasi dan akomodasi yang berbeda itu sama seperti Teori Himpunan Saling Lepas yaitu Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama dengan Notasi : A // B. Maksudnya tidak memiliki elemen yang sama yaitu asimilasi mempunyai tujuan untuk merubah sedangkan akomodasi mempunyai tujuan agar sesuai dengan lingkungan.

Itulah beberapa peristiwa diatas yang saya kaitkan dengan teori himpunan matematika. Dan dibawah ini beberapa pembuktian pernyataan perihal himpunan.

Pembuktian Pernyataan Perihal Himpunan

· Pernyataan himpunan adalah argumen yang menggunakan notasi himpunan.

· Pernyataan dapat berupa:

1. Kesamaan (identity)

Contoh: Buktikan “A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)”

2. Implikasi

Contoh: Buktikan bahwa “Jika A Ç B = Æ dan A Í (B È C) maka selalu berlaku bahwa A Í C”.

1. Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn

Contoh: Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C) dengan diagram Venn.

Bukti:

A Ç (B È C) (A Ç B) È (A Ç C)

Kedua digaram Venn memberikan area arsiran yang sama.

Terbukti bahwa A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C).

· Diagram Venn hanya dapat digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak banyak jumlahnya.

· Metode ini mengilustrasikan ketimbang membuktikan fakta. Diagram Venn tidak dianggap sebagai metode yang valid untuk pembuktian secara formal.

2. Pembuktikan dengan menggunakan tabel keanggotaan

Contoh: Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan bahwa A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C).

Bukti:

A	B	C	B È C	A Ç (B È C)	A Ç B	A Ç C	(A Ç B) È (A Ç C)
0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	1	0	0	0	0
0	1	0	1	0	0	0	0
0	1	1	1	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	1	1	0	1	1
1	1	0	1	1	1	0	1
1	1	1	1	1	1	1	1

Karena kolom A Ç (B È C) dan kolom (A Ç B) È (A Ç C) sama, maka A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C).

3. Pembuktian dengan menggunakan aljabar himpunan.

Contoh: Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa (A Ç B) È (A Ç

) = A

Bukti:

(A Ç B) È (A Ç

) = A Ç (B È

) (Hukum distributif)

= A Ç U (Hukum komplemen)

= A (Hukum identitas)

Contoh: Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa A È (B – A) = A È B

Bukti:

A È (B – A) = A È (B Ç

) (Definisi operasi selisih)

= (A È B) Ç (A È

) (Hukum distributif)

= (A È B) Ç U (Hukum komplemen)

= A È B (Hukum identitas)

Contoh: Buktikan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B, bahwa

(i) A È (

Ç B) = A È B dan

(ii) A Ç (

È B) = A Ç B

Bukti:

(i) A È (

Ç B) = ( A È

) Ç (A Ç B) (H. distributif)

= U Ç (A Ç B) (H. komplemen)

= A È B (H. identitas)

(ii) adalah dual dari (i)

A Ç (

È B) = (A Ç

) È (A Ç B) (H. distributif)

= Æ È (A Ç B) (H. komplemen)

= A Ç B (H. identitas)

4. Pembuktian dengan menggunakan definisi

· Metode ini digunakan untuk membuktikan pernyataan himpunan yang tidak berbentuk kesamaan, tetapi pernyataan yang berbentuk implikasi. Biasanya di dalam implikasi tersebut terdapat notasi himpunan bagian (Í atau Ì).

Contoh: Misalkan A dan B himpunan. Jika A Ç B = Æ dan A Í (B È C) maka A Í C. Buktikan!

Bukti:

(i) Dari definisi himpunan bagian, P Í Q jika dan hanya jika setiap x Î P juga Î Q. Misalkan x Î A. Karena A Í (B È C), maka dari definisi himpunan bagian, x juga Î (B È C).